Question

设等差数列{a_n}的前n项和是S_n，已知S₃=9，S₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数m、k，使a_m，a_m+5，a_k成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，说明理由；
（3）设数列{b_n}的通项公式为b_n=3n-2．集合A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N^*}．将集合A∪B中的元素从小到大依次排列，构成数列c₁，c₂，c₃，…，求{c_n}的通项公式．

Answer

（1）设等差数列{an}的公差是d，由S3=9和S6=36，得，由此能够求出数列{an}的通项公式．
（2）存在正整数m、k，使am，am+5，ak成等比数列．由am，am+5，ak成等比数列，知（2m-1）（2k-1）=（2m+9）2，解得，m，k是正整数，由此能求出m，k的值．
（3）由a3k-2=2（3k-2）-1=6k-5，a3k-1=2（3k-1）-1=6k-3，a3k=2•3k-1=6k-1，b2k-1=3（2k-1）-2=6k-5=a3k-2，b2k=3•2k-2=6k-2∉A，由此能求出{cn}的通项公式．
【解析】
（1）设等差数列{an}的公差是d，
由S3=9和S6=36，
得，解得a1=1，d=2，
∴an=a1+（n-1）d=2n-1，
故数列{an}的通项公式an=2n-1．
（2）存在正整数m、k，使am，am+5，ak成等比数列．
∵存在正整数m、k，使am，am+5，ak成等比数列，
∴（2m-1）（2k-1）=（2m+9）2，
∴==2m-1+20+，
即，m，k是正整数，
∴存在正整数m，k，使am，am+5，ak成等比数列，
m，k的值分别是m=1，k=61或m=3，k=23，或m=13，k=25．
（3）∵a3k-2=2（3k-2）-1=6k-5，
a3k-1=2（3k-1）-1=6k-3，
a3k=2•3k-1=6k-1，
b2k-1=3（2k-1）-2=6k-5=a3k-2，
b2k=3•2k-2=6k-2∉A，
∴a3k-2=b2k-1＜a3k-1＜b2k＜a3k，k=1，2，3，…，
即当n=4k-3，k∈N*时，cn=6k-5；
当n=4k-2，k∈N*时，cn=6k-3；
当n=4k-1，k∈N*时，cn=6k-2；
当n=4k，k∈N*时，cn=6k-1．
∴{cn}的通项公式是cn=，
即．