Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P，Q，R分别是棱AB，CC₁，D₁A₁的中点．
（1）求证：B₁D⊥平面PQR；
（2）设二面角B₁-PR-Q的大小为θ，求|cosθ|．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，利用向量的数量积为0，判断向量垂直，再利用线面垂直的判定定理可以证明；
（2）求出平面B1PR的一个法向量，利用向量的夹角公式，我们可以求出向量的夹角的余弦值，这样，我们就利用求出|cosθ|．
【解析】
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则P（1，0，0），
Q（2，2，1），R（0，1，2），D（0，2，0），B1（2，0，2）
∴
∴，
∴，
∵PR∩PQ=P，PR，PQ⊆平面PQR；
∴B1D⊥平面PQR；
（2）由（1）知，是平面PQR的一个法向量
设是平面B1PR的一个法向量
∵
∴，∴
取z=1，则x=-2，y=-4
∴平面B1PR的一个法向量为
∴=
∴