Question

如果锐角△ABC的外接圆的圆心为O，求O到三角形三边的距离之比．

Answer

设锐角△ABC中三边长为a，b，c，P是三角形ABC外接圆的圆心，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PG⊥AB于G，锐角△ABC外心P在△ABC内，设外接圆半径=R，在三角形PBC中，S△PBC=PE×=×PB×PC×sin∠BPC，故PE×BC=R2•sin2A=2R2sinAcosA，同理，PF•AC=2R2sinBcosB，PG•AB=2R2sinCcosC．由此利用正弦定理能导出O到三角形三边的距离之比．
【解析】
设锐角△ABC中三边长为a，b，c，P是三角形ABC外接圆的圆心，
PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PG⊥AB于G，
锐角△ABC外心P在△ABC内，
设外接圆半径=R，在三角形PBC中，
S△PBC=PE×=×PB×PC×sin∠BPC，
∵PB=PC=R，∠BPC=2A，（圆心角是同弧圆周角的2倍），
∴PE×BC=R2•sin2A=2R2sinAcosA，①
同理，PF•AC=2R2sinBcosB，②
PG•AB=2R2sinCcosC，③
式，得==，
∴=，
而根据正弦定理，，
即BC•sinB=AC•sinA，
故得：，
同理可得：．
所以PE：PF：PG=cosA：cosB：cosC．
故O到三角形三边的距离之比为：cosA：cosB：cosC．