Question

求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形．

Answer

根据圆内接五边形的每个角都相等，结合圆的半径相等，证明三角形全等，即可证得结论．
证明：设圆内接五边形为ABCDE，圆心是 O．
连接OA，OB，OC OD，OE，可得五个三角形
∵OA=OB=OC=OD=OE=半径，∴有五个等腰三角形
在△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEA中
则∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，∠OCD=∠ODC，∠ODE=∠OED，∠OEA=∠OAE
因为所有内角相等，
所以∠OAE+∠OAB=∠OBA+∠OBC，所以∠OAE=∠OBC
同理证明∠OBA=∠OCD，∠OCB=∠OED，∠ODC=∠OEA，∠OED=∠OAB
则△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEA 中，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA
∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△ODE≌△OEA  （SAS边角边定律）
∴AB=BC=CD=DE=EA
∴五边形ABCDE为正五边形