Question

已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）不为常函数，有以下命题：
①函数g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则f（x）是以2为周期的周期函数；
③若f（x）是奇函数，且对任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，则f（x）的图象关于直线x=1对称；
④对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，若恒成立，则f（x）为（-∞，+∞）上的增函数．
其中正确命题的序号是    ．

Answer

①根据偶函数定义可得g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），故①可判断；
②若对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，可得f（x+2）=-f（-x），故②错误；
③由对任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，可知f（2+x）=-f（x），根据f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），从而可判断f（x）的图象关于直线x=1对称；
④利用函数单调性的定义，结合，可知函数f（x）为（-∞，+∞）上的增函数．
【解析】
①∵g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x）
∴函数g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数，故①正确；
②若对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，∴f（x）=-f（2-x），∴f（x+2）=-f（-x），f（x）不是以2为周期的周期函数，故②错误；
③∵对任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，∴f（2+x）=-f（x）
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴f（2+x）=f（-x）
∴f（x）的图象关于直线x=1对称；
④设任意x1，x2∈R且x1＜x2，∴x1-x2＜0，
∵
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）为（-∞，+∞）上的增函数．