Question

在△ABC中，A、B、C为其内角，且tanA与tanB是方程6x²-5x+1=0的两个根．
（I）求tan（A+B）的值；
（II）求函数在x∈[0，π]时的最大值及取得最大值时x的取值．

Answer

（Ⅰ）由韦达定理可得tanA+tanB=，tanA•tanB=，从而可求得tan（A+B）的值；
（Ⅱ）由二倍角的余弦与辅助角公式可将f（x）=sin（x+）-2+2化为：f（x）=sin（x+）+1，又0≤x≤π，即可求得其最大值及取得最大值时x的取值．
【解析】
（Ⅰ）由韦达定理得：tanA+tanB=，tanA•tanB=，
∴tan（A+B）==1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A+B=，又A+B+C=π，
∴C=．
∴f（x）=sin（x+）-2+2
=sin（x+）-[1+cos（x+）]+2
=sin（x+-）+1
=sin（x+）+1．
∵0≤x≤π，故x+，
∴当x+=，即x=时，f（x）的最大值为．