Question

过点P（1，4）作直线L，直线L与x，y的正半轴分别交于A，B两点，O为原点，
①△ABO的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程；
②当|OA|+|OB|最小时，求此时直线L的方程．

Answer

方法一：将过点P（1，4）作直线L设为截距式，则，①△ABO的面积为S=ab，②|OA|+|OB|=a+b，分别利用均值定理解决其最值问题，进而求得直线方程；
方法二：将过点P（1，4）作直线L设为点斜式，将A、B坐标用k表示，进而将①△ABO的面积为S，②|OA|+|OB|表示为关于k的函数，分别求最值，进而求直线方程
【解析】
法一：依题意可设直线l的方程为：（a＞0，b＞0 ）
则A（a，0 ），B（0，b ），直线L过点P（1，4），∴，
又a＞0，b＞0
∴，∴
①
当且仅当，即a=2，b=8时取等号，
∴S的最小值为8
此时直线方程为：，即：4x+y-8=0
②|OA|+|OB|=a+b=（a+b ）（）=5+
当且仅当，即b=2a且，即a=3，b=6时取等号，
∴|OA|+|OB|的值最小为9，此时直线方程为：即：2x+y-6=0
法二：①依题意可设直线l的方程为：y-4=k （ x-1 ） （ k＜0 ）
令 x=0，则y=4-k，B（ 0，4-k）；令 y=0，则x=+1，A （+1，0）
S=（4-k）（ +1）=（-k+8 ）≥8，
当且仅当-16/k=-k时，即 k=-4时取等号，S的最小值为8，
此时直线方程为：y-4=-4（ x-1 ），即：4x+y-8=0
②|OA|+|OB|=（ +1）+（4-k）=-k+5≥4+5=9，
当且仅当=-k时，即 k=-2时取等号，|OA|+|OB|的值最小，
此时直线方程为：：y-4=-2 （ x-1 ）  即：2x+y-6=0