Question

已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）
（1）求b的值；
（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据f（-x）=f（x）采用特殊值的方式可求出b的值，
（2）由（1）求出g（x）的解析式后，利用在区间（0，1）上为单调增函数，则有g′（x）≥0求得答案．
【解析】
（1）∵函数f（x）=x2+bsinx-2（b∈R）对任意x∈R，有f（-x）=f（x），
∴令x=得：，解得：b=0，
（2）由（1）得f（x）=x2-2，
∴有：g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x2+2x+alnx，
∵g（x）区间（0，1）上为单调增函数，
∴有g′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，
又∵g′（x）=2x+2+a，
∴2x+2+a≥0在（0，1）上恒成立，
即：a≥-2x2-2x在（0，1）上恒成立，
令∅（x）=-2x2-2x，
则只须a大于等于∅（x）=-2x2-2x在（0，1）上的最大值，
而∅（x）=-2x2-2x在（0，1）上有∅（x）＜∅（0）=0，
∴a≥0．
故答案为：（1）b=0，（2）a≥0．