Question

已知函数f（x）=x²-2alnx-1（a≠0）．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的极值．

Answer

（I）欲求在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．
（II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，再求出极值即可．
【解析】
（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x2-4lnx-1，
∴f（1）=0
又，
∴f′（1）=-2
所以y-0=-2（x-1）
即f（x）在x=1处的切线方程为2x+y-2=0-------------（5分）
（II）因为f（x）=x2-2alnx-1（a≠0）
所以（x＞0）--------------（6分）
（1）当a＜0时，
因为x＞0，且x2-a＞0，
所以f'（x）＞0对x＞0恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值---------------------（8分）
（2）当a＞0时，
令f'（x）=0，解得x1=，x2=-（舍）------------------------（10分）
所以，当x＞0时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x （0，） （，+∞）
f'（x） - +
f（x） ↘ 极小值 ↗

------------------------------------------------（12分）
所以，当x=时，f（x）取得极小值，且f（x）极小值=a-alna-1．
综上，当a＜0时，方程f'（x）=0无解，函数f（x）在（0，+∞）上无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=处取得极小值f（x）极小值=a-alna-1．--------------（13分）