Question

已知f（x）是二次函数，f'（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f'（x）=f（x+1）+x²恒成立，求f（x）的解析表达式．

Answer

设f（x）=ax2+bx+c（其中a≠0），求导可得f'（x）=2ax+b，代入f'（x）=f（x+1）+x2恒成立可得a，b，c之间的关系，可求
【解析】
设f（x）=ax2+bx+c（其中a≠0），
则f'（x）=2ax+b，
∵f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c=ax2+（2a+b）x+a+b+c．
由已知，得2ax+b=（a+1）x2+（2a+b）x+a+b+c，
∴，解之，得a=-1，b=0，c=1，
∴f（x）=-x2+1．