Question

把正整数按“S”型排成了如图所示的三角形数表，第n行有n个数，设第n行左侧第一个数为a_n，如a₅=15，则该数列{a_n}的前n项和T_n（n为偶数）为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

方法一：（特值法）根据T2=a1+a2=3，把n=2代入选项，排除C、D，再代入n=4，可判断选项；
方法二：因为当n为奇数时，，当n为偶数时，an=an-1+1，然后利用分组求和法求出数列{an}的前n项和Tn（n为偶数），可得结论．
【解析】
方法一：（特值法）因为T2=a1+a2=3，把n=2代入选项，排除C、D，再代入n=4，因为T4=16，B选项满足，故选B．
方法二：因为当n为奇数时，，当n为偶数时，an=an-1+1，
故n是偶数时，Tn=a1+（a1+1）+a3+（a3+1）+…+an-1+（an-1+1）
=2a1+1+2a3+1+…+2an-1+1
=
=
=（12+1）+（32+3）+…+[（n-1）2+（n-1）]
=[12+32+52+…+（n-1）2]+[1+3+…+（n-1）]
令S=12+22+…+（n-1）2+n2，A=12+32+52+…+（n-1）2，B=22+42+62+…+n2，
A-B=12-22+32-42+52-62+…+（n-1）2-n2=-1-2-3-4-…-（n-1）-n=，
又，得=
则 Tn===．
故选B．