Question

若函数f（x）=cos2x+acosx（x∈R）的最小值为-4，则a 的值为    ．

Answer

由二倍角公式可得f（x）=cos2x+acosx=2cos2x+acosx-1，令t=cosx，则-1≤t≤1，则f（t）=2t2+at-1=2（）-1
=，要求函数在[-1，1]上最小值，则需要讨论对称轴与区间[-1，1]的位置关系，分别求解即可
【解析】
∵f（x）=cos2x+acosx=2cos2x+acosx-1
令t=cosx，则-1≤t≤1，f（t）=2t2+at-1=2（）-1
=
①当即a≥4时，t=-1时函数有最小值f（-1）=1-a=-4
∴a=5
②当-≥1即a≤-4时，t=1时，函数有最小值f（1）=1+a=-4
∴a=-5
③当＜1即-4＜a＜4时，t=-时，函数有最小值f（-）=-1-
∴a=（舍去）
综上可得a=±5
故答案为：±5