Question

已知{a_n}为等比数列，a₁=1，前n项和为S_n，且，数列{b_n}的前n项和为T_n，且点（n，T_n）均在抛物线上．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n项和S′_n．

Answer

（1）设等比数列的公比为q，则由可知q≠1，利用等比数列的求和公式可得q=3，从而可求{an}的通项公式；
根据数列{bn}的前n项和为Tn，且点（n，Tn）均在抛物线上，可得，当n≥2时，利用bn=Tn-Tn-1，即可求出{bn}的通项公式；
（2）根据cn=an•bn=n•3n-1，可知S'n=1•3+2•31+3•32+…+n•3n-1，利用错位相减法，可求{cn}的前n项和S′n．
【解析】
（1）设等比数列的公比为q，则由可知q≠1
∵，∴，∴q=3
∵a1=1，∴
∵数列{bn}的前n项和为Tn，且点（n，Tn）均在抛物线上
∴
当n≥2时，=n
∵b1=T1=1
∴bn=n
（2）∵cn=an•bn=n•3n-1，∴S'n=1•3+2•31+3•32+…+n•3n-1，
∴3S'n=1•31+2•32+…+（n-1）•3n-1+n•3n，
两式相减，得-2S'n=1•3+1•31+1•32+…+1•3n-1-n•3n=-n•3n=-n•3n=，
得  S'n=．