Question

已知函数（a＜-1）．
（1）若函数f（x）在x=2处的切线与x轴平行，求a的值，并求出函数的极值；
（2）已知函数g（x）=4lnx-2x+ln（b²-2b），在（1）的条件下，若f（x）＞g（x）恒成立，求b的取值范围．

Answer

（1）根据导数的几何意义再结合条件函数f（x）在x=2处的切线与x轴平行可得f'（2）=0从而求出a的值；然后将a代入可求出f'（x）=而f（x）的定义域为（0，+∞）故根据f'（x）的正负和f（x）的单调性的关系可得f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增然后根据极大极小值的定义即可求出函数的极值．
（2）令F（x）=f（x）-g（x）由（1）可得F（x）=-ln（b2-2b）（x＞0）故f（x）＞g（x）恒成立就转化为F（x）min＞0在（0，+∞）上恒成立，下面只需利用导数和单调性相结合求出F（x）min
【解析】
（1）∵函数（a＜-1）
∴f（x）的定义域为（0，+∞）且，（1分）
∵f（x）在x=2处的切线与x轴平行
∴f'（2）=0
∴a=-3，（3分）此时f'（x）=
∴当x∈（0，1）时f′（x）＞0，x∈（1，2）时f′（x）＜0，x∈（2，+∞）时f′（x）＞0
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
∴当x=1时，f（x）有极大值
当x=2时，f（x）有极小值f（2）=-4+2ln2．（6分）
（2）令F（x）=f（x）-g（x）
则F（x）的定义域为（0，+∞），F（x）=-4lnx+2x-ln（b2-2b）=-ln（b2-2b）（x＞0），
∴F′（x）==．                                （8分）
∴当0＜x＜2时，F′（x）＜0，所以F（x）在（0，2）上单调递减；
当x＞2时，F′（x）＞0，所以F（x）在（2，+∞）上单调递增．
∴当x=2时，F（x）min=2-2-2ln2-ln（b2-2b）=-2ln2-ln（b2-2b），
∴要使在（1）的条件下，若f（x）＞g（x）恒成立只需要F（x）min=-2ln2-ln（b2-2b）＞0
即ln（b2-2b）＜（11分）
∴（13分）．