Question

设，其中a为正实数．
（1）当时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）为上的单调函数，求a的取值范围．

Answer

（1）把a=代入，对f（x）进行求导，令f′（x）=0，解出其极值点；
（2）已知f（x）上的为单调函数，可知f′（x）在恒大于等于0，或恒小于等于0，利用求出a的取值范围．
【解析】
∵，
（1）当时，若f'（x）=0，
则，

x
f'（x） + - +
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增

∴是极大值点，是极小值点；
（2）记g（x）=ax2-2ax+1，则g（x）=a（x-1）2+（1-a），
∵f（x）为上的单调函数，
则f'（x）在上不变号，
∵，
∴g（x）≥0或g（x）≤0对恒成立，
由g（1）≥0或⇒0＜a≤1或，
∴a的取值范围是0＜a≤1或．