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如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,点E...

如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,点E是SD上的点,且DE=λa(0<λ≤1).
(1)求证:对任意的λ∈(0,1],都有AC⊥BE;
(2)若二面角C-AE-D的大小为60°,求λ的值.

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(1)以D为原点,DA,DC,DS的方向分别作为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,分别求出,的坐标,计算向量的数量积,只要说明数量积与λ无关即可; (2)分别求出平面ADE与平面ACE的一个法向量,利用二面角C-AE-D的大小为60°建立两法向量的关系式,求出λ的值即可. 【解析】 以D为原点,DA,DC,DS的方向分别作为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(a,0,0), B(a,a,0),C(0,a,0),E(0,0,λa), (1)证明:∵=(-a,a,0), =(-a,-a,λa),=(a,0,-λa),=(0,a,-λa). ∴•=(-a,a,0)•(-a,-a,λa) =a2-a2+0•λa=0, 即对任意的λ∈(0,1],都有AC⊥BE. (2)=(0,a,0)为平面ADE的一个法向量. 设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z), 则n⊥E,n⊥E, ∴即 取z=1,得n=(λ,λ,1). ∴cos60°═⇔=2|λ|. 由λ∈(0,1],解得λ=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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