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已知椭圆C的方程为:,其焦点在x轴上,离心率. (1)求该椭圆的标准方程; (2...

已知椭圆C的方程为:manfen5.com 满分网,其焦点在x轴上,离心率manfen5.com 满分网
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)设动点P(x,y)满足manfen5.com 满分网,其中M,N是椭圆C上的点,直线OM与ON的斜率之积为manfen5.com 满分网,求证:manfen5.com 满分网为定值.
(3)在(2)的条件下,问:是否存在两个定点A,B,使得|PA|+|PB|为定值?若存在,给出证明;若不存在,请说明理由.
(1)根据椭圆焦点在x轴上,离心率,即可求出椭圆的标准方程; (2)假设M,N的坐标,利用向量条件寻找坐标之间的关系,结合点M,N在椭圆上,即可证明为定值; (3)由(2)知点P是椭圆上的点,根据椭圆的定义可得该椭圆的左右焦点满足|PA|+|PB|为定值. (1)【解析】 由,b2=2,解得,故椭圆的标准方程为. (2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),则由,得(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2), 即x=x1+2x2,y=y1+2y2, ∵点M,N在椭圆上, ∴ 设kOM,kON分别为直线OM,ON的斜率,由题意知,, ∴x1x2+2y1y2=0, 故 =, 即(定值) (3)证明:由(2)知点P是椭圆上的点, ∵, ∴该椭圆的左右焦点满足为定值, 因此存在两个定点A,B,使得|PA|+|PB|为定值.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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