Question

已知函数f（x）=lnx，（a＞0）
（Ⅰ）若设F（x）=f（x）+g（x），求F（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数图象上任意点处的切线的斜率k≤1恒成立，求实数a的最小值；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数的图象与的图象恰好有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer

（I）由F'（x）＞0，可求得F（x）的单调递增区间；
（II）由于H（x）=lnx+，H′（x）=，可求得2a≥-x2+x=，于是可求得a的取值范围．
（Ⅲ）依题意，m=有三个不同的根，构造函数G（x）=，通过求导数，求得G（x）的极大值G（1）的值，即可得到m的范围．
【解析】
（I）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+（x＞0），F′（x）=
∵a＞0，由F'（x）＞0，得x＞2a，
∴F（x）的单调递增区间为（2a，+∞）．-----------------------（3分）
（II）H（x）=f（x）+=lnx+，H′（x）=，----------------------（5分）
∵2a≥-x2+x，又x2-x≤，2a≥-，a≥．
所以实数a的最小值为．--------------------------（8分）
（III） 若p（x）=的图象与q（x）=的图象恰有三个不同交点，
即有三个不同的根，
亦即m=有三个不同的根．---------------------（10分）
令G（x）=，
则G′（x）=-x2-2x=．
当x＜0时G'（x）＜0，所以G（x）单调递减，且当x→0时，G（x）→-∞，当x→-∞时，G（x）→+∞
当0＜x＜1时G'（x）＞0；
∴G（x）单调递增，且当x→0时，G（x）→-∞，
当x＞1时，G'（x）＜0；
∴G（x）单调递减，
∴当x=1时，G（x）的极大值G（1）=-．
所以，当 时，方程有三个不同的解．--------------（14分）