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已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|. (Ⅰ)求不等式f(x)≤6的解集...

已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≤6的解集;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)不等式等价于①,或②,或③. 分别求出这3个不等式组的解集,再取并集,即得所求. (Ⅱ)由绝对值不等式的性质求出f(x)的最小值等于4,故有|a-1|>4,解此不等式求得实数a的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)不等式f(x)≤6 即|2x+1|+|2x-3|≤6, ∴①,或②,或③. 解①得-1≤x<-,解②得-≤x≤,解③得 <x≤2. 故由不等式可得, 即不等式的解集为{x|-1≤x≤2}. (Ⅱ)∵f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4,即f(x)的最小值等于4, ∴|a-1|>4,解此不等式得a<-3或a>5. 故实数a的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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