Question

二次函数f（x）满足：f（0）=2，f（x）=f（-2-x），导函数的图象与直线垂直
（1）求f（x）的解析式
（2）若函数g（x）=在（0，2）上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer

（1）根据函数模型设出函数解析式，然后根据f（0）=2，f（x）=f（-2-x），导函数的图象与直线垂直建立方程，解之即可；
（2）根据g（x）=+2图象的性质建立不等式式组，解之即可．
【解析】
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）
∵f（0）=2∴c=2
∵f（x）=f（-2-x）
∴图象的对称轴
导函数图象与直线垂直
∴2a=2从而解得：a=1  b=2  
∴a=1  b=2 c=2
∴f（x）=x2+2x+2  （x∈R）…（6）
（2）=+2在（0，2）上是减函数
当2-m≤0时，该函数在（0，+∞）上单调递增，故不符号题意．
g（x）=+2≥2+2
该函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上递减
∴
∴m≤-2…（12）