Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PF⊥平面ABCD，垂足F在AD上，且AF=FD，FB⊥FC，FB=FC=2，E是BC的中点，四面体P-BCF的体积为．
（1）求异面直线EF和PC所成的角；
（2）求点D到平面PBF的距离．

Answer

解法一：向量法．首先利用PF⊥平面ABCD的特点，以F点为原点，建立适当的空间直角坐标系，利用向量来求异面直线的夹角、点到面的距离．其中该异面直线的夹角可以转换为的夹角来求，点D到面PBF的距离是d=
解法二：定义法．利用平行关系作出异面直线EF与PC所成的角，利用几何关系找出点D到PBF的距离．
【解析】
（解法一）
（1）由已知=
∴PF=4
如图所示以F为原点以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系o-xyz
则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4），由E是BC的中点，故E（1，1，0）
∴
∴cos＜＞==
∴异面直线EF和PC所成的角arccos
（2）平面PBF的单位法向量=（0，1，0）
∵
∴点D到面PBF的距离是d==
（解法二）
（1）由已知=
∴PF=4
在平面ABCD内，过C做CH∥EF，交AD于H，连接PH
则∠PCH（或其补角）就是异面直线EF与PC所成的角
在△PCH中，CH=，PC=，PH=由余弦定理可得cos∠PCH=
∴异面直线EF和PC所成的角为arccos
（2）∵PF⊥平面ABCD，PF⊂平面PBA
∴平面PBF⊥平面ABCD
在平面ABCD内过D作DK⊥BF，交BF延长线与K，则DK⊥平面PBF
∴DK的长就是点D到平面PBF的距离
∵BC=2
∴DF=AD=BC=
∵在△DFK中DK=DFsin45°=
∴点D到平面PBF的距离为