Question

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁+a_2n-1=2n，S_n为数列{}的前n项和，设f（n）=S_2n-S_n，
（1）比较f（n）与f（n+1）的大小； 
（2）若g（x）=log₂x-12f（n）＜0，在x∈[a，b]且对任意n＞1，n∈N^*恒成立，求实数a，b满足的条件．

Answer

（1）由条件求出a1 =1，a2=2，可得an=n．化简f（n+1）-f（n）=＞0，可得f（n+1）＞f（n）．
（2）由上知：{ f（n）}为递增数列，必需 log2x＜12 f（2）成立，求出f（2）=，可得log2x＜7，求得0＜x＜128，
由此确定实数a，b满足的条件．
【解析】
（1）∵数列{an}为等差数列，且a1+a2n-1=2n，令n=1可得 a1 =1，再令n=2可得a2=2，故 an=n．
f（n+1）-f（n）=S2（n+1）-Sn+1-[S2n-Sn]=S2（n+1）-S2n-（Sn+1-Sn）
=a2n+2+a2n+1-an+1=-=＞0，
∴f（n+1）＞f（n）．（6分）
（2）由上知：{ f（n）}为递增数列，必需 log2x＜12 f（2）成立．（8分）
∵f（2）=S4-S2=，∴log2x＜7，
∴0＜x＜128，∴0＜a＜b＜128．