Question

已知函数f（x）=log₂x，设是首项和公差都等于1的等差数列．数列{b_n}满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{b_n}不是等比数列；
（2）令，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求证：S_n＜3．

Answer

（1）由题意求出，从而求得，假设数列{bn}是等比数列，则有 ．经过计算可得
，与假设矛盾，所以假设不成立，从而证得要证的结论成立．
（2）由条件求得，用错位相减法求出它的值．
【解析】
（1）由题意可得 f（an）=n=log2an，∴，故数列{an}是等比数列．
假设数列{bn}是等比数列，，则有 ．
由因为 ，∴，与假设矛盾，所以假设不成立．
∴数列{bn}不是等比数列．（6分）
（2）∵，Sn=c1+c2+c3+…+cn，
∴，…①
∴，…②，
①-②得  
=
=，
∴＜3．（12分）