Question

设a＞2，给定数列求证：
（1）x_n＞2，且x_n+1＜x_n（n∈N*）；
（2）如果．

Answer

（1）使用数学归纳法证明xn＞2，证题时采用作差法即可；证明xn+1＜xn，利用作商法与1比较即可；
（2）利用（1）先证明，再采用放缩法即可证得．
证明：（1）使用数学归纳法证明xn＞2
当n=1时，x1=a＞2命题成立；
假设当n=k（k∈N*）时命题成立，即xk＞2，且xk+1＜xk．
当n=k+1时，=＞0
即xk+1＞2
综上对一切n∈N*，有xn＞2．（4分）
当xn＞2时，
∴xn+1＜xn（n∈N*）（6分）
（2）因为xn＞2，所以．
故（10分）
由此可得，
∴
当2＜a≤3时，（12分）