Question

以下有四个命题：
①一个等差数列{a_n}中，若存在a_k+1＞a_k＞O（k∈N），则对于任意自然数n＞k，都有a_n＞0；
②一个等比数列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜O（k∈N），则对于任意n∈N，都有a_n＜0；
③一个等差数列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜0（k∈N），则对于任意n∈N，都有a_n＜O；
④一个等比数列{a_n}中，若存在自然数k，使a_k•a_k+1＜0，则对于任意n∈N，都有a_n．a_n+1＜0；
其中正确命题的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

Answer

对四个选项逐个加以判别：根据等差数列的通项公式和它的性质，可得①是正确的而③是不正确的；根据等比数列的通项公式及其性质，可得②和④是正确的．由此不难得出正确的答案．
【解析】
对于①，等差数列{an}中，若存在ak+1＞＞O（k∈N），
说明数列的公差d＞0，且第k项为正数，说明从第k项往后各项均大于ak为正数
则对于任意自然数n＞k，都有an＞0，故①是正确的；
对于②，等比数列{an}中，若存在ak＜0，ak+1＜O（k∈N），
根据等比数列奇数项符号相同、偶数项符号也相同的规律，
知此等比数列的所有项均为负数，对于任意n∈N，都有an＜0，故②是正确的；
对于③，一个等差数列{an}中，若存在ak＜0，ak+1＜0（k∈N），
有可能它的前面有限项为正，而公差为负，如：5，3，1，-1，-3，-5，…
所以结论：对于任意n∈N，都有an＜O不成立，故③是不正确的；
对于④，等比数列{an}中，若存在自然数k，使ak•ak+1＜0，
说明这两项一个为正数，另一个为负数，则它公比q＜0
由此，对于任意n∈N，都有an．an+1=an2q＜0，故④是正确的；
故正确的命题是①②④
故选D