Question

已知复数：z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi（其中x，k∈R），记z₁z₂的实部为f（x），若函数f（x）是关于x的偶函数．
（1）求k的值；
（2）求函数y=f（log₂x）在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值．

Answer

（1）由z1=log2（2x+1）+ki，z2=1-xi，求出z1•z2后，根据实部的概念，可得f（x）关于x的函数解析式，再根据函数f（x）是偶函数，根据偶函数的性质，构造关于k的方程，解方程可求出k的值
（2）利用（1）求出函数y=f（log2x）的表达式，化简后，通过基本不等式，函数的单调性求出在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值；
【解析】
（1）∵z1=log2（2x+1）+ki，z2=1-xi
∴z1•z2=[log2（2x+1）+ki]•（1-xi）
=[log2（2x+1）+kx]+[k-x•log2（2x+1）+ki]i
f（x）=log2（2x+1）+kx
设定义域R中任意实数，由函数f（x）是偶函数
得：f（-x）=f（x）恒成立
∴log2（2x+1）-kx=log2（2x+1）+kx
2kx=log2（）=-x
（2k+1）x=0
得：k=-
（2）由（1）可知f（x）=log2（2x+1）-x，
所以y=f（log2x）=log2（x+1）-log2x=log2=，
所以x∈（0，a]，a＞0，a∈R时，