Question

已知函数f（x）=sinx，对于满足0＜x₁＜x₂＜π的任意x₁，x₂，给出下列结论：
①（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＞0；
②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
③f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁；
④．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

根据条件和正弦函数的单调性判断①，根据对条件进行变形和正弦函数的图象，以及直线斜率的几何意义判断②，利用正弦函数的单调性判断③，根据正弦函数的图象进行判断④．
【解析】
①、由（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]＞0得f（x）为增函数，因为函数y=f（x）在（0，π）上先增后减，故①错误；
②、由于，将视为曲线y=f（x）上的点与原点连线斜率，结合函数图象可知横坐标越大，斜率越小，故②正确；
③、当x∈（0，π）时，y=f（x）-x=sinx-x为减函数，∴f（x2）-x2＜f（x1）-x1，故③正确；
④、由于曲线y=f（x）图象上连接任意两点线段中点在曲线下方，∀x1，x2∈（0，+∞），，故④正确．
故选C．