Question

已知函数f（x）=1+lnx．
（1） 求过原点且与曲线y=f（x）相切的直线方程；
（2） 若关于x的不等式f（x）≤ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1） 先求其导函数，设出切点坐标，进而得切线的斜率，求出切线方程，利用切线过原点，就可以把具体的切线方程求出来；
（2）先把不等式f（x）≤ax恒成立转化为a≥，再利用导函数求出不等式右边的最大值即可求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=1+lnx，∴，
设曲线y=f（x）上切点坐标为（x，1+lnx），
则，解得x=1，k=1，
∴切线方程为y=x．（5分）
（2）∵x＞0，
∴f（x）≤ax⇔a≥，（6分）
设，则，（8分）
令，得x=1，（9分）
当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）在（0，1）上为增函数，
当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴g（x）max=g（1）=1，
∴a≥1．（12分）