Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，-3）、N（5，1），若点C满足，点C的轨迹与抛物线：y²=2px（p＞0）交于D、E两点．
（1），求抛物线的方程；
（2）过动点（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p．
（i）求a的取值范围；
（ii）若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q，求△QAB面积的最大值．

Answer

（1）由，知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，故点C所在的轨迹方程是y=x-4．设D（x1，y1），E（x2，y2），则=（x1，y1），，由，得（x-4）2=2px，由此能求出抛物线方程．
（2）（i）（1）设出直线的方程与抛物线方程联立消去y，设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A，B，进而根据判别是对大于0，及x1+x2的和x1x2的表达式，求得AB的长度的表达式，根据|AB|的范围确定a的范围
（2）设AB的垂直平分线交AB于点E，令坐标为（x3，y3），则由中点坐标公式求得x3的坐标，进而求得EM的长度．根据△MNE为等腰直角三角形，求得EQ的长度，进而表示出△QAB的面积，根据|AB|范围确定三角形面积的最大值．
【解析】
（1）由，知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，
故点C所在的轨迹方程是，即y=x-4．
设D（x1，y1），E（x2，y2），则=（x1，y1），，
由，得（x-4）2=2px，
∴x2-（2p+8）x+16=0．
∴x1x2=16，x1+x2=2p+8，
∴y1y2=（x1-4）（x2-4）=x1x2-4（x1+x2）+16=-8p，
∵，∴，
∴x1x2+y1y2=0，
∴16-8p=0，
∴p=2，
∴抛物线方程为y2=4x．
（2）（i）直线l的方程为y=x-a
将y=x-a代入y2=2px，
得x2-2（a+p）x+a2=0．
设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），
则
又y1=x1-a，y2=x2-a，
∴==．
∵0＜|AB|≤2p，8p（p+2a）＞0，
∴．
解得．
（ii）设AB的垂直平分线交AB于点E，令坐标为（x3，y3），则由中点坐标公式，得，．
∴|EM|2=（a+p-a）2+（p-0）2=2p2，
又△MNE为等腰直角三角形，
∴|EQ|=|EM|=
∴=
=p|AB|=，
即△QAB面积最大值为．