Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱BB₁和DD₁中点．
（1）求证：平面B₁FC₁∥平面ADE；
（2）试在棱DC上求一点M，使D₁M⊥平面ADE
（3）求二面角A₁-DE-A的余弦值．

Answer

（1）证明四边形DFB1E为平行四边形，再利用AD∥B1C1，这样，面平面B1FC内有2条相交线B1C1和B1F平行于另一个平面．
（2）取DC中点M，证明D1M⊥B1C1，D1M⊥FC1，从而D1M⊥平面B1FC1，再根据平面B1FC1∥平面ADE，证得D1M⊥平面ADE．
（3）以D为原点，端点在D的三条棱为坐标轴建立坐标系，写出要用的点的坐标，得到，，设出平面A1DE的法向量，根据两个向量之间的垂直关系求出平面的法向量，另一个平面的法向量是存在于图形中，根据两个向量的夹角的余弦值做出结果．
【解析】
（1）证明：∵E、F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1棱BB1和DD1中点．
∴DF∥B1E且DF=B1E
∴四边形DFB1E为平行四边形，
即FB1∥DE，
由∵AD∥B1C1（2分）
又AD∩DE=D，B1C1∩B1F=B1
∴平面B1FC∥平面ADE．（4分）
（2）证明：取DC中点M，连接D1M，
由正方体性质可知，D1M⊥B1C1，
且△DD1M≌△C1D1F  （5分）所以∠D1C1F=∠DD1M，
又∠D1C1F+∠D1FC1=90
所以∠D1D1M+∠D1FC1=90
所以D1M⊥FC1（6分
又FC1∩B1C1=C1
∴D1M⊥平面B1FC1
又由（1）知平面B1FC1∥平面ADE．
所以D1M⊥平面ADE．（8分）
（3）以D为原点，端点在D的三条棱为坐标轴建立坐标系，写出要用的点的坐标，
得到，，
设平面A1DE的法向量是，
则有2p+2r=0，
2p+2q+r=0，
令p=1，得r=-1，q=-，
∴
由（2）知平面ADE的法向量是（0，1，-2）
∴二面角的余弦值是