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已知M是正四面体ABCD棱AB的中点,N,E分别是棱CD,BD上的任意点,则下列...

已知M是正四面体ABCD棱AB的中点,N,E分别是棱CD,BD上的任意点,则下列结论正确的个数有( )
(1)MN⊥AB;              (2)若N为中点,则MN与AD所成角为45°;
(3)平面CDM⊥平面ABN;  (4)若E为中点,则几何体E-BMN的体积为定值.
A.1
B.2
C.3
D.4
利用线线垂直,线面垂直、面面垂直的位置关系的判定,异面直线夹角的定义、锥体体积公式逐一判断正误,得出正确的个数. 【解析】 ①如图① 连接MC,MD,由于M是正四面体ABCD棱AB的中点,所以MC⊥AB,MD⊥AB,AB⊥面MCD,MN⊂面MCD, ∴MN⊥AB. (1)正确. ②如图 ② 设H为AC中点, 连接HN,MH,则HN∥AD,MH∥BC. ∠HNM即为MN与AD所成角,由(1)已证AB⊥面MCD, 得出AB⊥CD,同理得出AD⊥BC, ∴NH⊥MH,△NHM为等腰直角三角形,∠HNM=45°, ∴MN与AD所成角为45°.  (2)正确. ③由(1)已证AB⊥面MCD,AB⊂面ABN,∴平面CDM⊥平面ABN.  (3)正确. ④V E-BMN=V M-BEN,M到底面BCD的距离为定值,三角形MEN的面积随N的变化而变化,几何体E-BMN的体积不为定值.  (4)错误. 下列结论正确的个数有3个. 故选C.
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