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已知函数, (1)若函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,求正实数a的取值范围;...

已知函数manfen5.com 满分网
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,求正实数a的取值范围;
(2)a=1时,求f(x)在manfen5.com 满分网上的最大值和最小值;
(3)a=1时,求证:对大于1的正整数n,manfen5.com 满分网
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,则[1,+∞)是函数增区间的子区间,求函数的导数,令导数大于0,求出函数的单调增区间,再让[1,+∞)的区间端点与函数增区间的区间端点比较即可. (2)a=1时,求f(x)的导数,再令导数等于0,得到的x的值为函数的极值点,在借助函数在的单调性,判断函数当x为何值时有最大值,何时有最小值. (3)借助(2)中判断的函数在的单调性,把证明转化为比较函数值大小的问题. 【解析】 (1)由已知:, 依题意:对x∈[1,+∞)成立, ∴ax-1≥0,对x∈[1,+∞)恒成立,即,对x∈[1,+∞)恒成立, ∴,即a≥1.              (2)当a=1时,, 若,则f'(x)<0, 若x∈(1,2],则f'(x)>0, 故x=1是函数f(x)在区间上唯一的极小值点,也就是最小值点, 故f(x)min=f(1)=0.                  又, ∵e3>2.73=19.683>16, ∴,∴, ∴f(x)在上最大值是=1-ln2, ∴f(x)在最大1-ln2,最小0.        (3)当a=1时,由(1)知,在[1,+∞)是增函数. 当n>1时,令,则x>1,∴f(x)>f(1)=0, 即, 即.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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