Question

无论m为任何实数，直线l：y=x+m与双曲线C：（b＞0）恒有公共点
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围．
（2）若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足，求双曲线C的方程．

Answer

（1）欲求双曲线C的离心率e的取值范围，只需找到a，c 的齐次不等式，根据直线l：y=x+m与双曲线C：（b＞0）恒有公共点，联立方程后，方程组必有解，△≥0成立，即可得到含a，c的齐次不等式，离心率e的取值范围可得．
（2）先设直线l的方程，与双曲线方程联立，求出y1，y2，代入，化简，即可求出b2，代入即可．
【解析】
（1）联立，得b2x2-2（x+m）2-2b2=0
（b2-2）x2-4mx-2（m2+b2）=0
当b2=2时，m=0，直线与双曲线无交点，矛盾
∴b2≠2．∴e≠．
∵直线与双曲线恒有交点，△=16m2+8（b2-2）（m2+b2）≥0恒成立
∴16m2+8（b2-2）m2+8（b2-2）b2≥0
∴b2≥2-m2，∴e≥．e＞．
（2）F（c，0）．L，y=x-c，
，（b2-2）y2+2cb2y+b2c2-2b2=0   
∴
∵，∴，
整理得，=
∵b2＞0，∴c2-2=b2，=，∴b2=7
∴双曲线C的方程为