Question

选修4-4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C₁的参数方程为 
（1）若把曲线C₁上的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C₂，求曲线C₂在直角坐标系下的方程
（2）在第（1）问的条件下，判断曲线C₂与直线l的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）先写出曲线C1的直角坐标方程，将曲线C1上的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2的方程即可；
（2）直线l的极坐标方程化成直角坐标方程，利用曲线C2的圆心到直线l的距离公式，求出距离表达式，利用直线与圆的位置关系得出曲线C2与直线l的位置关系．
【解析】
（1）由题意可知：曲线C1的参数方程为 ，
因为曲线C1的直角坐标方程为：．
∴把曲线C1上的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2，
则曲线C2在直角坐标系下的方程为：，
即．
（2）将原极坐标方程化为：
ρcosθ-ρsinθ+2=0，
化成直角坐标方程为：x-y+2=0，
直线为 x-y+2=0圆心到直线的距离是，
所以直线和圆相离．