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定义在[1,+∞)上的函数f(x)满足:①f(2x)=cf(x)(c为正常数);...

定义在[1,+∞)上的函数f(x)满足:①f(2x)=cf(x)(c为正常数);②当2≤x≤4时,f(x)=1-(x-3)2,若函数f(x)的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上,则c等于( )
A.1
B.2
C.1或2
D.4或2
由已知可得分段函数f(x)的解析式,进而求出三个函数的极值点坐标,根据三点共线,则任取两点确定的直线斜率相等,可以构造关于c的方程,解方程可得答案. 【解析】 ∵当2≤x≤4时,f(x)=1-(x-3)2 当1≤x<2时,2≤2x<4, 则f(x)=f(2x)=[1-(2x-3)2] 此时当x=时,函数取极大值 当2≤x≤4时,f(x)=1-(x-3)2 此时当x=3时,函数取极大值1 当4<x≤8时,2<x≤4 则f(x)=cf(x)=c(1-(x-3)2, 此时当x=6时,函数取极大值c ∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上, 即点(,),(3,1),(6,c)共线, ∴ 解得c=1或2. 故选C
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考点分析:
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