Question

已知抛物线x²=8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M
（1）证明线段FM被x轴平分；       
（2）计算的值；
（3）求证|FM|²=|FA|•|FB|．

Answer

（1）设，由导数的几何意义可求直线AM的方程为：，直线BM的方程为：，解方程可求M，由已知A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：y=kx+2，联立直线与抛物线方程，根据方程的根与系数关系可求线段FM中点的纵坐标O，可证
（2）由，利用向量的数量积，结合方程的根与系数的关系可求
（3）由向量的数量积的性质可知，即AM⊥MB，而 MF⊥AB，在直角△MAB中，利用射影定理可证
证明：（1）设，由得
直线AM的方程为：
直线BM的方程为：
解方程组得即M（）（3分） 
由已知可得A，A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：y=kx+2
与抛物线方程x2=8y联立消y可得：x2-8kx-16=0
∴x1+x2=8k，x1x2=-16（5分）
∴即M点的纵坐标为-2，
∵F（0，2）
所以线段FM中点的纵坐标O
即线段FM被x轴平分．                 （6分）
解（2）∵F（0，2），M（4k，-2），，
∴
∴
==0   （9分）
证明：
∵==-8+4+4=0（13分）
∴，而 MF⊥AB所以在直角△MAB中，
由影射定理即得|FM|2=|FA|•|FB|（15分）