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高中数学试题
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设实数a>0,b>0,且满足a+b=1. (1)求alog2a+blog2b的最...
设实数a>0,b>0,且满足a+b=1.
(1)求alog
2
a+blog
2
b的最小值;
(2)设
(9a)
b
>(9b)
a
.
(1)b=1-a代入所求关系式alog2a+blog2b,可得alog2a+(1-a)log2(1-a),再令f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)x∈(0,1),通过f′(x)即可求得f(x)min,即alog2a+blog2b的最小值; (2)可先通过分析法得到:要证(9a)b>(9b)a,即证,由<a<b<,再构造函数g(x)=,x∈(,),通过g′(x)分析出g(x)在上单调递减,从而得证结论. 【解析】 (1)b=1-a代入得alog2a+(1-a)log2(1-a), 设f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)x∈(0,1),(1分) 则f'(x)=log2x+log2e-log2(1-x)-log2e=log2x-log2(1-x);(3分) 令f'(x)>0解得, ∴f(x)在上单调递减,在上单调递增. (5分) ∴即原式的最小值为-1.(7分) (2)要证(9a)b>(9b)a,即证ln(9a)b>ln(9b)a 即证bln(9a)>aln(9b), ∵a>0,b>0, 即证,(9分) 由已知设(10分) 则,(11分) ∵,因此3<9x<6, ∴1<ln3<ln(9x)<ln6 ∴g'(x)<0(13分) 所以g(x)在上单调递减, ∴g(a)>g(b),原不等式得证. (14分)
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考点分析:
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2
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.
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试题属性
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