Question

设实数a＞0，b＞0，且满足a+b=1．
（1）求alog₂a+blog₂b的最小值；
（2）设（9a）^b＞（9b）^a．

Answer

（1）b=1-a代入所求关系式alog2a+blog2b，可得alog2a+（1-a）log2（1-a），再令f（x）=xlog2x+（1-x）log2（1-x）x∈（0，1），通过f′（x）即可求得f（x）min，即alog2a+blog2b的最小值；
（2）可先通过分析法得到：要证（9a）b＞（9b）a，即证，由＜a＜b＜，再构造函数g（x）=，x∈（，），通过g′（x）分析出g（x）在上单调递减，从而得证结论．
【解析】
（1）b=1-a代入得alog2a+（1-a）log2（1-a），
设f（x）=xlog2x+（1-x）log2（1-x）x∈（0，1），（1分）
则f'（x）=log2x+log2e-log2（1-x）-log2e=log2x-log2（1-x）；（3分）
令f'（x）＞0解得，
∴f（x）在上单调递减，在上单调递增．        （5分）
∴即原式的最小值为-1．（7分）
（2）要证（9a）b＞（9b）a，即证ln（9a）b＞ln（9b）a
即证bln（9a）＞aln（9b），
∵a＞0，b＞0，
即证，（9分）
由已知设（10分）
则，（11分）
∵，因此3＜9x＜6，
∴1＜ln3＜ln（9x）＜ln6
∴g'（x）＜0（13分）
所以g（x）在上单调递减，
∴g（a）＞g（b），原不等式得证．                                   （14分）