Question

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉a₁₀…记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1．S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足．
（Ⅰ）证明数列成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和．

Answer

（Ⅰ）由题意所给的已知等式特点应考虑应用已知数列的前n项和求其通项这一公式来寻求出路，得到Sn与SSn-1之间的递推关系，先求出Sn的通项公式即可得证，接下来求{bn}的通项公式；
（Ⅱ）由题意第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1=a1=1，又已知{bn}的通项公式和a81的值，应该现有规律判断这一向位于图示中的具体位置，有从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数进而求解．
【解析】
（Ⅰ）证明：由已知，当n≥2时，，又Sn=b1+b2++bn，
所以，
又S1=b1=a1=1．所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
由上可知，．
所以当n≥2时，．
因此
（Ⅱ）设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0．
因为，
所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项，故a81在表中第13行第三列，
因此．又，所以q=2．
记表中第k（k≥3）行所有项的和为S，
则．