Question

如图（1）在等腰△ABC中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，∠ACB=120°，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（如图（2））
（I）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（II）求二面角E-DF-C的余弦值；
（III）在线段BC是否存在一点P，但AP⊥DE？证明你的结论．

Answer

（I）利用线线平行证明线面平行，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，从而可证AB∥平面DEF；
方法一：（II）取CD的点M，使EM∥AD，过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF，从而可得∠MNE是二面角E-DF-C的平面角，进而可得tan∠MNE=2，从而可得二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅲ）在线段BC上不存在点P，使AP⊥DE，作AG⊥DE，交DE于G交CD于Q由已知得∠AED=120°，于是点G在DE的延长线上，从而Q在DC的延长线上，过Q作PQ⊥CD交BC于P，可得P在BC的延长线上．
方法二（Ⅱ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面CDF的法向量为，平面EDF的法向量为，从而可求二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅲ）设P（x，y，0），利用，，求得P的坐标，从而可得在线段BC上不存在点P使AP⊥DE．
【解析】
（I）如图1在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，
又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AB∥平面DEF．
方法一：（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD，∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角，∴AD⊥BD，
∴AD⊥平面BCD，
取CD的点M，使EM∥AD，∴EM⊥平面BCD，
过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF，
∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角．
设CD=a，则AC=BC=2a，AD=DB=，
在△DFC中，设底边DF上的高为h
由，∴h=
在Rt△EMN中，EM=，MN=h=，∴tan∠MNE=2
从而cos∠MNE=
（Ⅲ）在线段BC上不存在点P，使AP⊥DE，
证明如下：在图2中，作AG⊥DE，交DE于G交CD于Q由已知得∠AED=120°，于是点G在DE的延长线上，从而Q在DC的延长线上，过Q作PQ⊥CD交BC于P，∴PQ⊥平面ACD，∴PQ⊥DE，∴DE⊥平面APQ，∴AP⊥DE．
但P在BC的延长线上．
方法二（Ⅱ）如图3以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，
设CD=a，则AC=BC=2a，AD=DB=，则A（0，0，），B（，0，0），C（0，．
取平面CDF的法向量为，设平面EDF的法向量为，
则，得取，
∴，所以二面角E-DF-C的余弦值为；
（Ⅲ）设P（x，y，0），则，∴y=3a，
又，
∵
把，可知点P在BC的延长线上
所以在线段BC上不存在点P使AP⊥DE．