Question

若对于定义在R上的函数f（x），其函数图象是连续的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是“λ-同伴函数”．下列关于“λ-同伴函数”的叙述中正确的是（ ）
A．“同伴函数”至少有一个零点
B．f（x）=x²是一个“λ-同伴函数”
C．f（x）=log₂x是一个“λ-同伴函数”
D．f（x）=0是唯一一个常值“λ-同伴函数”

Answer

令x=0，可得．若f（0）=0，f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，．可得f（x）在上必有实根，可判断A
假设f（x）=x2是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）2+λx2=0，则有λ+1=2λ=λ2=0，解方程可判断B
因为f（x）=log2x的定义域不是R可判断C
设f（x）=C则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，可判断D
【解析】
令x=0，得．所以．若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，．又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在上必有实数根．因此任意的“同伴函数”必有根，即任意“同伴函数”至少有一个零点．：A正确，
用反证法，假设f（x）=x2是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ-同伴函数”．B错误
因为f（x）=log2x的定义域不是R．C错误
设f（x）=C是一个“λ-同伴函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-同伴函数”．D错误，