Question

如图，AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点，O是圆柱上底面的圆心，BF过O点，DE是过O点的动直径，且AB=2，BF=2AB．
（1）求证：BE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥D-BCE的体积最大时，求二面角C-DE-A的平面角的余弦值．

Answer

（1）证明BE⊥平面ACD，关键是证明BE垂直于平面中的两条相交直线，即证BE⊥AC，而DE是圆柱上底面的直径，所以BE⊥BD，故可得结论；
（2）△BDE的面积最大时，三棱锥的体积也最大，此时△BDE是等腰直角三角形，从而可知DE⊥平面AOC，连接CO，AO，而有CO⊥DE，AO⊥DE，可得∠AOC是二面角C-DE-A的平面角，进而可求二面角C-DE-A的平面角的余弦值．
（1）证明：∵AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点，
∴AC垂直圆柱的底面，即AC⊥平面BDF，（1分）
∵BE⊂平面BDF，∴BE⊥AC（2分）
∵DE是圆柱上底面的直径，∴BE⊥BD（3分）
∵AC⊂平面ACD，BD⊂平面ACD，且AC∩BD=B（4分）
∴BE⊥平面ACD（5分）
（2）【解析】
∵DE是圆O的直径，
∴∠DBE是直角，DE=BF=2AB=4
设BD=x，（0＜x＜4），在直角△BDE中，，（6分）
，（8分）
当且仅当，即时“=”成立，（9分）
∵三棱锥D-BCE的体积等于三棱锥C-DBE的体积，而三棱锥C-DBE的高BC=2，
∴△BDE的面积最大时，三棱锥的体积也最大，
此时，，即△BDE是等腰直角三角形                （10分）
∴BO⊥DE
∵AC⊥DE，AC∩BO=O
∴DE⊥平面AOC（11分）
连接CO，AO，而有CO⊥DE，AO⊥DE，∴∠AOC是二面角C-DE-A的平面角       （12分）
在△AOC中，∠AOC=∠BOC+∠AOB
又，，∴
同理可得，∴（13分）
∴，即二面角C-DE-A的平面角的余弦值为0．（14分）