Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为2．
（1）求二面角B-AC₁-C的大小；
（2）求点C到平面ABC₁的距离．

Answer

（1）由题设条件，可先在图中作出二面角的平面角，如图作BE⊥AC于E，由条件，E为AC的中点且BE⊥面AC1C，过点E作EF⊥AC1于F，连接BF，可由线面角的定义判断出∠EFB为二面角B-AC1-C的平面角，然后在直角三角形EFB中求角即可得到答案．
（2）由题设条件，可在图中构造出过C且垂直于平面ABC1的平面，将点到面的距离转化成点到线的距离求解，如图作CN⊥AB于N，连接C1N，作CM⊥C1N于M，可证得CM⊥平面ABC1，即CM即为所求点C到平面ABC1的距离，再由等面积法求出CM的长度即可得到所求的点到面的距离．
【解析】
（1）作BE⊥AC于E，由条件，E为AC的中点且BE⊥面AC1C，过点E作EF⊥AC1于F，连接BF，
∵BE⊥面AC1C，AC1⊂面AC1C，
∴BE⊥AC1，则∠EFB为二面角B-AC1-C的平面角．
根据条件，可得，
∴，
∴二面角B-AC1-C的大小为．
（2）如图，作CN⊥AB于N，连接C1N，
∵AB⊥CC1，C1N∩CN=N，
∴AB⊥面NCC1，从而得平面ABC1⊥平面CC1N，
作CM⊥C1N于M，则CM⊥平面ABC1，故CM即为所求点C到平面ABC1的距离
，即点B1到平面ABC1的距离为．