Question

函数．
（1）如果函数f（x）在点A（2，f（2））处的切线的斜率等于3，求实数a的值；
（2）如果函数f（x）在区间[1，+∞）上无极值，求实数a的取值范围．

Answer

（1）求得f'（x）=x2+ax+a2-1，根据已知条件可得f′（2）=3，可以得出a值；
（2）函数f（x）在区间[1，+∞）上无极值，分类两种情况讨论：①f′（x）=0其△≤0，②f′（x）=0其△＞0，则f′（x）=0的二根应小于等于1，利用实根分布寻找关于a的不等式，求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）由条件，f′（x）=x2+ax+a2-1，
由导数的几何意义可得f′（2）=3，解得a=0或-2；
（2）函数f（x）在区间[1，+∞）上无极值，则
①f′（x）=0其△≤0，则f（x）在R上单调递增，
则f（x）在区间[1，+∞）上无极值，解得；
②f′（x）=0其△＞0，则f′（x）=0的二根应小于等于1，
由实根分布可得，

⇒；
综上，．