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(1)如果函数f(x)在点A(2,f(2))处的切线的斜率等于3,求实数a的值;
(2)如果函数f(x)在区间[1,+∞)上无极值,求实数a的取值范围.
(1)求得f'(x)=x2+ax+a2-1,根据已知条件可得f′(2)=3,可以得出a值; (2)函数f(x)在区间[1,+∞)上无极值,分类两种情况讨论:①f′(x)=0其△≤0,②f′(x)=0其△>0,则f′(x)=0的二根应小于等于1,利用实根分布寻找关于a的不等式,求出实数a的取值范围. 【解析】 (1)由条件,f′(x)=x2+ax+a2-1, 由导数的几何意义可得f′(2)=3,解得a=0或-2; (2)函数f(x)在区间[1,+∞)上无极值,则 ①f′(x)=0其△≤0,则f(x)在R上单调递增, 则f(x)在区间[1,+∞)上无极值,解得; ②f′(x)=0其△>0,则f′(x)=0的二根应小于等于1, 由实根分布可得, ⇒; 综上,.
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考点分析:
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