Question

如图，ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面），过FB作圆柱的截面交下底面于C₁E₁，已知．
（1）证明：四边形BFE₁C₁是平行四边形；
（2）证明：FB⊥CB₁；
（3）求三棱锥A-A₁BF的体积．

Answer

（1）证明FB∥C1E1．FB=C1E1，即可证明四边形BFE1C1是平行四边形．
（2）连接FC，则FC是圆柱上底面的圆的直径，说明BF⊥BC，证明BF⊥B1B，推出BF⊥平面B1BCC1，然后证明FB⊥CB1．
（3）连接F1C1，求出三棱锥A1-ABF的高为3，求出三棱锥A1-ABF的体积，通过三棱锥A1-ABF的体积等于三棱锥A-A1BF的体积，求解三棱锥A-A1BF的体积．
（本小题满分14分）
证明：（1）因为圆柱的上下底面平行，
且FB、C1E1是截面与圆柱上、下底面的交线，
所以FB∥C1E1．（1分）
依题意得，正六边形ABCDEF是圆内接正六边形，
所以，正六边形的边长等于圆的半径，即AB=AF=1．（（2分） ）
在△ABF中，由正六边形的性质可知，∠BAF=120°，
所以，，即（（3分） ）
同理可得，所以FB=C1E1，故四边形BFE1C1是平行四边形．（4分） 
（注：本小问的证明方法较多，如有不同证明方法请参照上述证明给分）
（2）连接FC，则FC是圆柱上底面的圆的直径，∵∠CBF=90°，即BF⊥BC （6分）
又∵B1B⊥平面ABCDEF，BF⊂平面ABCDEF，∴BF⊥B1B                  （7分）
∵B1B∩BC=B，
∴BF⊥平面B1BCC1．（8分）
又∵B1C⊂平面B1BCC1，
∴FB⊥CB1．                                      （9分）
（3）连接F1C1，则四边形CFF1C1是矩形，且FC=F1C1=2，FF1⊥F1C1．
在RT△FF1C1中，，
∴三棱锥A1-ABF的高为3．（11分）
（12分）
∴三棱锥A1-ABF的体积，（13分）
又三棱锥A1-ABF的体积等于三棱锥A-A1BF的体积，
∴三棱锥A-A1BF的体积等于．（14分）