Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n．等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且S₄=2S₂+4，，．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈成立，求a₁的取值范围；
（Ⅲ）若，判别方程S_n+T_n=55是否有解？并说明理由．

Answer

（Ⅰ）由S4=2S2+4，可求得公差d的值；
（Ⅱ）依题意，等差数列{an}的公差d=1＞0，Sn要取得最小值S8，须，从而可求a1的取值范围；
（Ⅲ）由题意可求得b1=，q=，从而求得Tn，由等差数列的求和公式求得Sn，再结合Sn+Tn=55即可分析得到答案．
【解析】
（Ⅰ）∵S4=2S2+4，
∴4a1+d=2（2a1+d）+4，解得d=1．…3
（Ⅱ）∵等差数列{an}的公差d=1＞0，Sn要取得最小值S8，必须有，即．
求得-8≤a1≤-7，
∴a1的取值范围是[-8，-7]．…4
（Ⅲ）由于等比数列{bn}满足，，即，解得b1=，q=，
∴，又Sn=na1+n（n-1）d=n2，…2
则方程Sn+Tn=55转化为：n2+[1-]=110．
令：f（n）=n2+1-，知f（n）单调递增，
当1≤n≤10时，f（n）≤100+[1-]＜100+1=101，
当n≥11时，f（n）≥112+[1-]＞112=121，所以方程Sn+Tn=55无解．…3