Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，A₁D与BC₁所成的角为，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

根据已知中长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1D与BC1所成角为90°，易判断这是一个棱长为2的正方体，设 O为B1D1的中点，证明C1O⊥平面 BB1D1D，得出∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成角，解三角形∠C1BO即可得到直线BC1与平面BB1D1D所成角的大小．
【解析】
因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2
∴上下底面为正方形
又∵BC1∥AD1，A1D与BC1所形成的角为90°，
∴A1D与AD1所成的角为90°，
∴AA1D1D为正方形，
∴ABCD-A1B1C1D1为正方体
设 O为B1D1的中点，则由C1O⊥B1D1，C1O⊥B1B，
得出C1O⊥平面 BB1D1D
连接BO，则∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成角
∵BC1=2； C1O=
∴sin∠C1BO=
∠C1BO=30°
故选B．