Question

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，它的一条准线为x=4，过点F₂的直线与椭圆C交于P、Q两点．当PQ与x轴垂直时，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，求△PF₁Q的内切圆面积最大时正实数λ的值．

Answer

（1）根据当PQ与x轴垂直时，，可得，从而可得a=2c，利用椭圆的一条准线为x=4，可得，从而可求椭圆C的方程；
（2）分类讨论：①当PQ与x轴垂直时，由==（其中r为△PF1Q的内切圆半径），可得λ的值；②当PQ与x轴不垂直时，不妨设直线PQ的方程为y=k（x-1）代入椭圆方程，利用韦达定理及==，可得结论．
【解析】
（1）∵当PQ与x轴垂直时，
∴
∴，∴a=2c（2分）
∵椭圆的一条准线为x=4
∴
∴c=1，a=2，
故所求椭圆C的方程为．（2分）
（2）由点F1（-1，0），F2（1，0），可设P（x1，y1），Q（x2，y2）
①当PQ与x轴垂直时，根据（其中r为△PF1Q的内切圆半径），可得|PQ|•2c=4a•r，∴，此时可知λ=1（2分）
②当PQ与x轴不垂直时，不妨设直线PQ的方程为y=k（x-1）代入得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
则（2分）

从而可得=
又点F1（-1，0）到直线PQ的距离．
依（其中r为△PF1Q的内切圆半径）
即|PQ|•d=4a•r（2分）
得=
=
可知在区间（0，+∞）上该函数单调递增，故当k2→+∞时，即直线PQ的斜率不存在时，r最大为，亦即△PF1Q的内切圆面积最大，此时可知λ=1
综上所求为λ=1．（2分）