Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，P是BC的中点，侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，且侧棱AA₁与底面ABC所成的角为60°．
（Ⅰ）证明：直线A₁C∥平面AB₁P；
（Ⅱ）求直线AB₁与平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）连接A1B交AB1于Q，则Q为A1B中点，连接PQ，证出PQ∥A1C后即可证出直线A1C∥平面AB1P；
（Ⅱ）取A1C1中点M，连B1M、AM，则B1M⊥A1C1，B1M⊥平面ACC1A1．∠B1AM为直线AB1与平面ACC1A1所成的角． 再得出∠A1AC为AA1与平面ABC所成的角，即∠A1AC=60°，在Rt△B1MA中求解即可．
（Ⅰ）【解析】
连接A1B交AB1于Q，
则Q为A1B中点，连接PQ，
∵P是BC的中点，∴PQ∥A1C．…（4分）
∵PQ⊂平面AB1P，A1C⊄平面AB1P，
∴A1C∥平面AB1P．     …（6分）
（Ⅱ）取A1C1中点M，连B1M、AM，
则B1M⊥A1C1．
∵平面ACC1A1⊥平面ABC，
∴平面ACC1A1⊥平面A1B1C1．
∴B1M⊥平面ACC1A1．
∴∠B1AM为直线AB1与平面ACC1A1所成的角．                   …（9分）
在正△A1B1C1中，边长为2，M是A1C1中点，∴．  …（10分）
∵面ACC1A1⊥平面ABC，
∴∠A1AC为AA1与平面ABC所成的角，即∠A1AC=60°．               …（11分）
在菱形ACC1A1中，边长为2，∠A1AC=60°，M是A1C1中点，
∴AM2=22+12-2×2×1×cos120°=7，∴．…（12分）
在Rt△B1MA中，，，从而．
∴．
∴直线AB1与平面ACC1A1所成角的正弦值为．                 …（14分）