Question

已知函数，g（x）=（a+1）x-4．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数a（a＞1），使得对任意的，恒有f（x）＜g（x）成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．（注：e为自然对数的底数．）

Answer

（I）先对函数求导，然后可求y=f（x）在（1，f（1））处的切线斜率，即可求出切线方程
（II）构造函数h（x）=f（x）-g（x），由题意可得h（x）在上的最大值小于0．利用导数可判断h（x）的单调性，进而可求h（x）的最大值，即可
【解析】
（Ⅰ），（x＞0）．            …（3分）
∵，∴切点为，切线斜率k=f'（1）=-1．
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为2x+2y-3=0．                  …（6分）
（Ⅱ）f（x）＜g（x）在上恒成立，也就是h（x）=f（x）-g（x）在上的最大值小于0．
令h（x）=f（x）-g（x）=，
则h'（x）=（x＞0）．     …（9分）
（1）若a≥e，则当时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈[1，e]时，h'（x）＜0，h（x）单调递减．
∴h（x）的最大值为，∴．                     …（11分）
（2）若1＜a＜e，则当时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈[1，a]时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈[a，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．
∴h（x）的最大值为max{h（1），h（e）}，从而．                 …（13分）
其中，由h（1）＜0，得，这与1＜a＜e矛盾．
综合（1）（2）可知：当时，对任意的，恒有f（x）＜g（x）成立．…（15分）