Question

 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示．
（1）求证：AN∥平面MBD；
（2）求异面直线AN与PD所成角的余弦值；
（3）求二面角M-BD-C的余弦值．

Answer

（1）连接AC交BD于O，连接OM，可得OM∥AN，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，写出各点的坐标，，AN与PD的夹角就是异面直线AN与PD所成角，然后求出其余弦值．
（3）侧棱PA⊥底面ABCD，可得平面BCD的一个法向量为，设平面MBD的法向量为m=（x，y，z），两个法向量的夹角就是二面角M-BD-C，然后再求出其余弦值．
（Ⅰ）证明：连接AC交BD于O，连接OM，
∵底面ABCD为矩形，
∴O为AC中点，（1分）
∵M、N为侧棱PC的三等分点，
∴CM=MN，
∴OM∥AN，（3分）
∵OM⊂平面MBD，AN不属于平面MBCD，
∴AN∥平面MBD．（4分）

（Ⅱ）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（3，0，0），C（3，6，0），D（0，6，0），P（0，0，3），M（2，4，1），N（1，2，2），
∵，（5分）
∴，（7分）
∴异面直线AN与PD所成角的余弦值为．（8分）

（Ⅲ）∵侧棱PA⊥底面ABCD，
∴平面BCD的一个法向量为，（9分）
设平面MBD的法向量为m=（x，y，z），
∵，并且，
∴，
令y=1得x=2，z=-2，
∴平面MBD的一个法向量为m=（2，1，-2）．（11分）
（13分）
由图可知二面角M-BD-C的大小是锐角，
∴二面角M-BD-C大小的余弦值为．（14分）